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Group Theory

Points

Sheet 01: 16.5 / 20 Sheet 02: 17.0 / 20 Sheet 03: 16.5 / 20 Sheet 04: 15.5 / 20 Sheet 05: 12.0 / 20 Sheet 06: 17.5 / 20 Sheet 07: 17.5 / 20 Sheet 08: 14.5 / 20 Sheet 09: 16.5 / 20 Sheet 10: 14.0 / 20 Sheet 11: 00.0 / 20 Sheet 12: 00.0 / 20 Sheet 13: 00.0 / 20

16.5 + 17.0 + 16.5 + 15.5 + 12.0 + 17.5 + 17.5 + 14.5 + 16.5 + 14.0

Basics

• Representation: p: G -> GL(V), a map from the group the set of linear maps from V to V (ambigous if Representation means the map p or the resulting set of linear maps)
• Lie Algebra: Vector space + inner product (vector product) that is bilinear, follows the jacobi identity, and has x*x = 0

Wigner D/d-matrix (sheet 07) -> Dive into angular momentum maths

• Generator operators U(R) = exp(-ihJ), J: operator / infinitesimal rotation
• SO(3) has exactly one irrep of dim 1,3,5,... (=2j+1) -> How does this relate to number of eigenstates?
• SU(2) allows even dim as well (j = half-integer) because SU(2) is double cover of SO(3) -> research
• Wigner D-Matrix gives transition probabilities between eigenstates
• Eigenstates form basis when discrete
• When j= 3, m=-3,-2,-1,0,1,2,3 -> states |3m> are allowed -> real states are superpositions of these basis states / eigenstates -> 7-dim space needed to describe them (even though angular momentum needs only 3d classically) -> remember in general that degrees of freedom explode as 2^n because superpositions are allowed
• j fixes total angular momentum, m fixes z component
• angular momentum operator algebra is inherent to so(3) lie algebra

Questions / open things

• Where does the inherent need for SO(3) come from? Why are the possible state spaces the irreps of SO(3)? -> The operators that rotate states (in physical space) can be called U(R(theta)), where R in SO(3). There is a homomorphism between {U(R)} and SO(3), since U(R1R2)=U(R1)U(R2). Thus U(R) is a representation. Enforcing finite-dim and irrep, this fixes dim = 2j+1.
• What about that L/J algebra? See "Lie Algebra" german wikipedia article -> Beispiele -> Aus der Physik -> Seems as though the relation does not only hold for those three "basis matrices", but all matrices, as long as your in the basis of the L_i (wtf even is a basis of matrices)
• Is there an intuitive notion to see how angular momentum emerges from the shapes of the wave functions?
• How does the emergence of azimuthal dependence in superpositions of (not azimuth-constraining) eigenstates play out mathematically?
• Why is SU(2) the double cover of SO(3)? What does that mean?
• What role do Pauli matrices play (generators of SO(2)? idk)
• How does one come up with the idea that operators and eigenvalues/vectors are the appropriate mathematical tools to describe QM? How does it arise? BC this alone imposes a lot of the quantization maths, since eigenvalues are discrete
• relation between Lie algebras and Lie groups not exactly clear
• Whats the algebra of exp of matrices -> https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential
• Is the generator exp(-ihJ) for SO(3) just the most convinient choice or the only choice?

Next topics

• Character tables and relation between conjugacy classes and irreps
• Further sheets
• Further lectures, explicitly everything after lecture 09
• Wigner-Eckart Theorem (in lecture, sheet and indip research)
  • Clebsch Gordan coeff as seperate research?

Ex1-3 Übersichtsprüfung

VL-Inhalte Ex1

Grundlagen (Größen, Einheiten; Skalare, Vektoren, trigonometrische Funktionen, differenzieren, partielle und totale Ableitungen, integrieren, komplexe Zahlen, Gradient, Divergenz, Rotation); Mechanik des Massenpunktes (Kinematik, Dynamik, Relativbewegung; beschleunigte Bezugssysteme, Impuls, Drehimpuls, Arbeit, Energie, Massenmittelpunkt); Relativistische Kinematik (Lorentz-Transformationen, Längenkontraktion, Zeitdilatation). Gravitation und Keplerbewegung Mechanik des Starren Körpers (Kraft, Drehmoment, Statik, Dynamik, Starrer Rotator, freie Achsen, Trägheitsmoment, Kreisel, Schwingungen, Festkörperwellen); Mechanik deformierbarer Medien (Aggregatzustände, Verformungseigenschaften fester Körper, ruhende Medien, statischer Auftrieb, Oberflächenspannung, bewegte Medien, Wellen und Akustik, dynamischer Auftrieb); Mechanik der Vielteilchensysteme (Gaskinetik, Temperatur, Zustandsgrößen, Hauptsätze der Wärmelehre, Wärmekraftmaschinen, Entropie und Wahrscheinlichkeit, Diffusion, Transportphänomene)

VL-Inhalte Ex2

Elektromagnetismus, Vergleich mit Gravitation. Elektrostatik (Ladung, Coulomb-Gesetz, Feld, Dipol, elektrische Struktur der Materie, Fluss, Gauß-Gesetz, Poisson-Gleichung, Ladungsverteilung, Kapazität). Elektrische Leitung (Stromdichte, Ladungserhaltung, Ohmsches Gesetz, Rotation des Vektorfeldes, Stokes-Satz, Stromkreise, Kirchhoff-Gesetze, Leitungsmechanismen). Magnetische Wechselwirkung, (Magnetismus als relativistischer Effekt, Magnetfeld, stationäre Maxwell-Gleichungen, Lorentz-Kraft, Hall-Effekt, Magnetdipol, Vektorpotential, Biot-Savart-Gesetz). Materie in stationären Feldern (induzierte und permanente Dipole, Dielektrikum, Verschiebungsfeld, elektrische Polarisation, magnetische Dipole, magnetisiertes Feld H, Magnetisierungsfeld, Verhalten an Grenzflächen). Zeitabhängige Felder (Induktion, Maxwellscher Verschiebungsstrom, technischer Wechselstrom, Schwingkreise, Hochfrequenz-Phänomene, Abstrahlung, freie EM-Wellen, Hertz-Dipol, Polarisation, Reflexion). Vollständige Maxwell-Gleichungen, Symmetrie zwischen elektrischen und magnetischen Feldern.

VL-Inhalte Ex3

Optik: Strahlenoptik und Matrizenoptik; Abbildungen und Abbildungsfehler; Mikroskop und Teleskop; Wellenoptik; Wellentypen; Gaußstrahlen; Kirchhoffsche Theorie der Beugung; Fraunhofer-Beugung; Fourier-Optik; Brechung und Dispersion; Polarisation und Doppelbrechung; Kohärenz und Zweistrahl-Interferometer; Vielstrahl-Interferometer; Michelson-Interferometer; Holographie, Laser-Speckel; Wellenmechanik: Wellen- und Teilchenphänomene mit Licht,Wellenpakete, Tunnel-Effekt; Eingesperrte Teilchen, Kastenpotential, Harmonischer Oszillator, Paul-Falle; Meßgrößen in der Quantenphysik; Photo-, Compton-Effekt, Franck-Hertz-Versuch; Rutherford-Experiment; elementares Wasserstoff-Atom; Stern-Gerlach-Experimente; Manipulation einzelner Teilchen